Concours ENSAM 2022 Mathématiques

Question 1 :

Pour \( n \in \mathbb{N} \), soit \( S_n = \frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^3+2} + \cdots + \frac{n}{n^4+n} \). A l'aide d'un encadrement de \( S_n \), choisir la bonne réponse.

A) \( (S_n) \) est convergente et \(\lim_{n \to +\infty} S_n = 0\)

B) \( (S_n) \) est divergente

C) \( (S_n) \) est convergente et \(\lim_{n \to +\infty} S_n = \frac{1}{2}\)

D) \( (S_n) \) est convergente et \(\lim_{n \to +\infty} S_n = 1\)

E) Autre réponse

Question 2 :

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) avec \(||\vec{i}|| = ||\vec{j}|| = 1 \, cm\), on considère le point \(A(1, -2, -1)\) et la droite \((D)\) d'équation cartésienne \(\frac{x-1}{2} = y + 1 = z\). La distance du point \(A\) à la droite \((D)\) est égale à :

A) \(\frac{\sqrt{3}}{3} \, \text{cm}\)

B) \(\frac{2\sqrt{2}}{3} \, \text{cm}\)

C) \(\frac{\sqrt{3}}{2} \, \text{cm}\)

D) \(\frac{\sqrt{2}}{3} \, \text{cm}\)

E) \(\frac{2\sqrt{3}}{3} \, \text{cm}\)

F) Autre réponse

Question 3 :

Pour \(z \in C\), on note par \(M(z)\) le point du plan complexe d'affixe \(z\). L'ensemble \(A = \{M(z) : (Z - 3i)(Z + 3i) = 2\}\) est :

A) un demi-plan

B) une droite

C) union de deux demi-droites

D) un cercle

E) Autre réponse

Question 4 :

Soit \(f\) une fonction dérivable en \(0\) telle que \(f(0) = 0\) et \(f'(0) = 1\). La limite \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)f(2x)...f(nx)}{x^n}\) est égale à :

A) \( n \)

B) \(\frac{n}{n!}\)

C) \(\frac{1}{n}\)

D) \( n! \)

E) \( 1 \)

F) Autre réponse

Question 5 :

Soit \(f(x) = \frac{\ln(x)}{x} - \frac{x}{x^2}\). La courbe représentative \(c_f\) de \(f\) admet en \(+\infty\) :

A) une asymptote oblique d'équation \( y = -x \)

B) une asymptote oblique d'équation \( y = x \)

C) une branche parabolique de direction asymptotique la droite d'équation \( y = -x \)

D) une asymptote verticale

E) Autre réponse

Question 6 :

Soit \(g\) la fonction définie sur \(R\) par \(g(x) = \frac{x}{1-x^2}\) si \(x \neq 0\) et \(g(0) = 0\), et soit \(c_g\) la courbe représentative de \(g\). Choisir la bonne réponse.

A) \( C_g \) admet une demi-tangente oblique à l'origine

B) \( C_g \) admet une tangente horizontale à l'origine

C) \( C_g \) admet une tangente verticale à l'origine

D) \( g \) est non bornée au voisinage de 0

E) Autre réponse

Question 7 :

Soit \(u_0 = \frac{1}{2}\) et \(u_{n+1} = u_n^2 + \frac{1}{2}\), \(\forall n \geq 0\). Sachant que la suite \((u_n)_n\) est décroissante, choisir la bonne réponse :

A) \(\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{3}{4}\)

B) \(\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{4}{3}\)

C) \((u_n)\) est divergente

D) \(\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{1}{4}\)

E) \(\lim_{n \to +\infty} u_n = 4\)

F) Autre réponse

Question 8 :

Pour \(n \in \mathbb{N}\), soit \(I_n = \int_0^1 (1 - x)^n e^{-nx} dx\). Choisir la bonne réponse.

A) \(\lim_{n \to +\infty} I_n = \frac{1}{e}\)

B) \(\lim_{n \to +\infty} I_n = 0\)

C) \(\lim_{n \to +\infty} I_n = 1\)

D) \((I_n)\) est divergente

E) \(\lim_{n \to +\infty} I_n = e\)

F) Autre réponse

Question 9 :

Pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), le polynôme \(P = nx^{n+1} - (n + 1)x^n + 1\) est :

A) divisible par \((x - 1)^2\)

B) divisible par \( x - 2 \)

C) non divisible par \( x - 1 \)

D) Autre réponse

Question 10 :

Dans \(\mathbb{R}^*\), l'équation \(e^{-\sqrt{2}x} - \sqrt{2} x + \sqrt{3} = 0\) admet :

A) plus de trois solutions

B) deux solutions distinctes

C) une solution unique

D) aucune solution

E) Autre réponse

Question 11 :

Soit \(f\) la fonction de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\) telle que \(f(2021x + 2022) \leq 2021x \leq f(2021x) + 2022\). Choisir la bonne réponse.

A) \( f \) est un polynôme de degré 2 et \( f(2021) \geq -1 \)

B) \( f \) est constante

C) \( f \) est un polynôme de degré 1

D) \( f \) est un polynôme de degré 2 et \( f(2022) \leq 0 \)

E) Autre réponse

Question 12 :

L'inéquation \(\sin(x) + 2\sin(y) + 3 \leq 0\) admet dans \(]-\pi, \pi]^2\) :

A) une infinité de solutions

B) une solution unique

C) aucune solution

D) deux solutions distinctes

E) Autre réponse

Question 13 :

Dans \(\mathbb{N}^*\), l'équation \(x^2 - y^2 - 21 = 0\) admet :

A) aucune solution

B) une infinité de solutions

C) deux solutions distinctes

D) une solution unique

E) Autre réponse

Question 14 :

Soit \(a, b, c \in \mathbb{Z}\) tels que \(a^2 + b^2 + c^2\) est divisible par \(3\), et soit \(S = a + b + c\). Sachant que, pour tout \(n \in \mathbb{Z}\), le nombre \(3\) divise \(n^3 - n\), choisir la bonne réponse.

A) \( S \) est multiple de 3

B) \( S \) et 3 sont premiers entre eux

C) le reste de la division euclidienne de \( S \) par 3 est 2

D) autre réponse

Question 15 :

Le nombre entier naturel \(1^{2021} + 2^{2021} + \cdots + 4^{2021}\) est :

A) multiple de 5

B) impair

C) non divisible par 5

D) premier

E) autre réponse

Concours Commun d'accès en 1ère année ENSAM - Session 2022

Question 1 :

Question 2 :

Question 3 :

Question 4 :

Question 5 :

Question 6 :

Question 7 :

Question 8 :

Question 9 :

Question 10 :

Question 11 :

Question 12 :

Question 13 :

Question 14 :

Question 15 :

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